【解答編】気柱の振動 〜定常波を書き込む〜

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さて、前回の問題の続きとなります!

内容忘れてないですよね?

大事なのは「定常波」「閉口端は節」「開口端は腹」です。

 

前回の解説編見てないよ!って方は先にこちらをどうぞ!

【解説編】気柱の振動 〜定常波を書き込む〜
 図のように、ガラス管にピストンを取り付け、菅口近くにスピーカーを置き音を出した。ピストンの位置を左端から右へ動かしていくと、L = 3.0,  L = 12.4 の位置で気柱の固有振動が起こった。このとき以下の問題に答えよ。ただし、開口端補正 Δl は常に一定と...

 

まずは、問題のおさらいをっと

 

問題文図のように、ガラス管にピストンを取り付け、菅口近くにスピーカーを置き音を出した。ピストンの位置を左端から右へ動かしていくと、L = 3.0[cm],  L = 12.4[cm] の位置で気柱の固有振動が起こった。このとき以下の問題に答えよ。ただし、開口端補正 Δl [cm] は常に一定とする。

(1) 音の波長 λ [cm]を求めよ。

(2)開口端補正 Δl [cm]を求めよ。

(3)次に気柱の振動が起こるときの、Lの長さ l [cm] を求めよ。

 

では、図は書き終わっているはずなのでどんどん解きましょう!

 

 

(1)音の波長 λ [cm]を求めよ。

解答へのひらめき

まず、音の波長 λ が何を指しているか、理解できていますか?大丈夫ですかっ!

というわけで一応確認すると下の図ですね

 

 

では先ほどの図を振り返りましょう。

 

最初の L = 3.0[cm] のときは、ガラス管の中に存在する波は、1波長のうちの 4分の1です。

(なんで4分の1になるの?と思った人は、さっきの波長を4等分した図を見てください)

 

つまり、図から視覚的に分かる通り、「Δl + 3.0 = \(\frac{1}{4}λ\)」ということになります。

 

次に、L = 12.6[cm] のときの図を見てください。

こちらは1波長のうち、4分の3がガラス管の中に存在しています。

ということで、こちらも視覚的に分かるよう「Δl + 12.6 = \(\frac{3}{4}λ\)」ということになります。

 

おおっ、これで未知の変数が2つなのに対して、2本の式がたちました。

ということは、連立方程式が解けます!

 

計算の手順

もう普通に連立方程式を解くだけです。

求めたいものが、λ なのでΔl を消すようにしましょう。

Δl + 3.0 = \(\frac{1}{4}λ\) ・・・1

Δl + 12.6 = \(\frac{3}{4}λ\) ・・・2

「式2ー式1」より、9.6 = \(\frac{1}{2}λ\)

両辺を2倍して、λ = 19.2 

以上より、求める波の波長λは、λ = 19.2[cm]

 




 

 

(2)開口端補正 Δl [cm]を求めよ。

解答へのひらめき

ひらめきも何もあったもんじゃありません(笑

先ほどの連立方程式の残った方、Δl を求めるだけです。

 

計算の手順

先ほどのラムダを式1に代入しましょう

 λ = 19.2[cm] を「Δl + 3.0 = \(\frac{1}{4}λ\)」に代入すると、

Δl + 3.0 = 4.8 となり移行して、Δl = 1.8

以上より、求める開口端補正Δlは、∆l = 1.8[cm]

 




 

 

(3)次に気柱の振動が起こるときの、Lの長さ l [cm] を求めよ。

解答へのひらめき

前回の解説編では、L = 3.0 のとき、L = 12.6のときの図を書いてきました。

では、さらにピストンを右にずらしたときの図を同様に書いて見ましょう。

守るべきルールは3つですよ!

覚えてますか?

1. 定常波である

2. 閉口端が節である

3. 開口端が腹である。

では書いて見てください

・・・かけました?

 

私が書いたものがこちらです!

形があまり綺麗じゃないですが、定常波ですよ!?

この図から分かる通り、「∆l + l = \(\frac{5}{4}λ\)」が成り立っていますね。

 

 

問題文に、「開口端補正は常に一定」と書いてあるので、

(2)でわかった ∆l を使ってやりましょう!

 

 

計算の手順

 

「∆l + l = \(\frac{5}{4}λ\)」に

λ = 19.2, ∆l = 1.8 を代入すると

1.8 + l = 24 となる。

これを移項して、l = 22.2

以上より、求める長さ l は、 l = 22.2 [cm]

 

できましたね!

この手の問題は、両方の端が開口端のものもあります。

例えそうであっても守るルールは同じです。

1. 定常波である

2. 閉口端が節である

3. 開口端が腹である。

忘れないでください!

 

 

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