鉛直投げ下ろし と自由落下のコラボ問題解きました。

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建物の屋上から、小球Aを自由落下させた。その1.0[s]後に、同じ建物の屋上から小球Bを投げ下ろしたところ、Bを投げ下ろした3.0[s]後にBはAに追いついた。

(1) BがAに追いついた時の落下距離を求めよ。
(2) Bの初速度を求めよ。

 

自由落下と鉛直投げ下ろしの融合問題をを解きます。

1つ問題の中に、2種類の運動が含まれているの難しく感じるかもしれません。

 

ポイントは、1つ1つ考えることと、時間のズレを式にすることです(^^)

この問題は図を書くことがより活きてきますので、しっかり書きましょう。

 

この問題の解説図をどうぞ!!

 

Figure_自由落下と鉛直投げ下ろし

 

自分ためでなく、人のための書き方をもっと頑張ります。

 

念のため公式

$$ y = v_0 + gt $$
$$ y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 $$
$$ v^2 – v_0^2 = 2gy $$

 

 

今回のポイント

 

ポイントは、まず時間をどうみるか?ということです。

具体的には「Aが落ち始めた時を、t=0」とするか、「Bが落ち始めた時を、t=0」とするかということです。

どちらのやり方でもできます。

ただ、途中で混ざったり、わからなくなったりしては困ります(^^;)

なので、今回の図ではわかりやすいように、ボールの位置関係を書くのと同時に「t = ~~」と書いておいてるわけです。

 

色鉛筆で囲った四角形は、同じ色の四角形だったら、同じ時間での出来事だということです。

問題文から、Aが落ち始める時を「t = 0」とすると、Bが落ち始めるのは「t = 1.0」となります。

 

さらにさらに、Bが落ち始めてから3秒後に、AとBが出会うわけですから、

”Aが落ち始める時”からカウントすると「t = 4」でA,Bは同じ高さになるはずです。

 

 

実際に解いてみる

(1) BがAに追いついた時の落下距離を求めよ。

 

この問題のポイントは「A,Bどっちも落下距離は同じ」ということです。

 

まず、追いついた時はBが落下してから3[s]後なので、「t = 3」を代入して「y」を求めたいのですが…

Bの初速度がわかりません。これでは「y」を求めることができません。

 

しかし方法はあります! AとBでは、「落ち始めた時間」は違います。「初速度」も違います。

でも、「t = 4」の時に、「A,Bは同じ高さにある」ということは、間違いありません。

ということは、どちらも落下した距離は同じであるはずです!!

 

つまり、「Bの落下距離を求めよ」という問題は「Aの落下距離を求めよ」とおんなじことですね。

※これが使えるのはあくまで「追いついた時」の話ですよ!

 

では、Aの落下距離を計算してみましょう。「y」を知りたいので、使う公式は2番目です。

 

「\( y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\)」を使うとき、Aは自由落下なので 「\(v_o = 0\)」

問題文から「\(t = 4.0\)」「g = 9.8」これを代入して

$$y_A = 0 × t + \frac{1}{2} × 9.8 × {4.0}^2$$

$$  = \frac{1}{2} × 9.8 × 16$$

$$  = 78.4$$

よってAの落下距離は y = 78.4 [m]

 

 

Aの落下距離と、Bの落下距離は等しいので、解答は y = 78.4 [m]

 




 

 

(2) Bの初速度を求めよ。

(1)のおかげでわかったことがあります。それは BがAに追いつくとき、AとBの落下距離は「8g」だということです。

ここでのコツは、あえて「78.4[m]」と書かず、計算する前の「8g」に戻すということです。

こうしておく方が、計算ミスが減ると思います(^^)

 

さらに1つ注意点があります。それは「t = 4」をそのまま代入してはいけない!ということです。

「t = 4」はあくまで”Aが落ち始めてから”の経過時間です。

なので、そのまま代入してしまうとBが4[s]間落下していたことになってしまいます。

でも違いますよね?BはAの1[s]後に落下しているので、実際には3[s]間しか落下していません。

 

今判明しているのは「y」と「t」だけです。

そして知りたいのは「\(v_0\)」です。

なので使う公式は上から2番目が適任ではないでしょうか?

ちなみに1番目と3番目は、いまだ不明の「v」を含んでしまうので、計算できません。

 

「\( y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\)」を使うとき、

(1)から「\(y = 8g\)」「t = 3.0」これを代入して、

$$8g = v_0 × 3 + \frac{1}{2}g × 3^2$$

$$8g = 3v_0 + \frac{9}{2}g$$

$$  3v_0 = \frac{7}{2}g$$

$$ v_0 = \frac{7}{6}g $$

よって解は\(v_0 = 11.43333… = 11.4\) [m/s]

 

ここまでついてこれたでしょうか?

このような2つの物体を並列に見なければいけない問題は、難しいのがいっぱいありますので、

注意して取り組みましょう。特に時間のズレには注意です(y_y)\

 

 

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