自由落下 で公式に慣れる

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地上から高さ39.2[m]の建物の屋上から、小球を静かに落とした。
(1) 落下し始めてから 1.0[s] 後の小球の地面からの高さh[m]を求めよ
(2) 9.8[m] 落下した時の小球の速さを求めよ
(3) 小球が地面に達するまでの時間を求めよ。
(4) (3)の時の小球の速度を求めよ

 

今回は、この 自由落下 の問題を解きます。

ポイントは、正の方向をきちんと考えることと、公式を自在に使えることです(^^)

 

あと、意外に忘れがちだけど問題文にも少し触れますよ〜

実戦用のちょうどいいレベルの図の書き方なども、見て何か吸収してってください。

 

まずはこの問題のために書いた図をどうぞ!!

 

Figure_自由落下

 

お見苦しい図でごめんなさい(泣) 本番で書くとなるとキレじゃなくて良いし、右のまとめもいらないので、こんなもんですな〜

「えっ、見にくい」とか思った人挙手!そこは勘弁してください。

解説のためなのです。

何回かかけて精進します。

 

ポイントがあります

ポイントは、各問題ごとの状況を書いたり、求めろと言われている値を図に書き込んでしまうことです。

今回であれば、ボールを「初期状態」、「1秒後」、「地面に着いた」の3パターン書きました。

あと、yやhも書き込んでいます。

正の方向や、重力加速度、公式も書いておくとド忘れの心配が減ります。

 

 

実際に解いてみる

(1) 落下し始めてから 1.0[s] 後の小球の地面からの高さh[m]を求めよ

 

この問題のポイントは「必要な公式を選択する」ことです。

まずこれは物理的にどんな現象なのか? これは問題文に隠されています。

 

それは、、、「静かに落とした」です。

この文には「初速度を与えていませんよ」という意味があります。

なので、この問題はただ物を落とすだけの、『自由落下』だとわかるわけです。

 

今、1秒という時間の情報を使って知りたいのは「高さh」です。

つまり距離が知りたいのです。

ということは公式としては、tとyを含んでいるのを選べば良いわけですな。

すると、それに見合う公式は3つのうちの上から2番目しかありません。

なので求めてみましょう。

 

「\( y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\)」を使うとき、自由落下なので 「\(v_o = 0\)」

問題文から「\(t = 1.0\)」、もちろんgは「\(g = 9.8\) 」これを代入しましょう。

$$y = 0 × t + \frac{1}{2} × 9.8 × {1.0}^2$$

$$  = 0 + 4.9$$

$$  = 4.9$$

 

「よって、答えはh=4.9[m]」と書こうとした人はいませんか?

実はこれは間違いです。

なぜかというと、今、計算したyは、正の方向を『下』として小球の動いた『距離(変位)』を求めただけです。

図では左側の灰色の場所に書かれている「y」の部分ですね。

 

でも今回の問題は、「小球の地上からの高さhを求めて欲しい」と言っているのです。

ということは、図を見てもわかるように、hを求めるためには、h =(建物の高さ)- y をやらなければなりません。

 

$$h = 39.2 – y$$

$$  = 39.2 – 4.9$$

$$  = 34.3$$

 

よって解答は、 h = 34.3 [m] となります。

 




 

 

(2) 9.8[m] 落下した時の小球の速さを求めよ

 

この問題は、変位(y)という情報を使って、速さ(v)を求める問題ですね。yとvを含む公式は上から3番目しかありません。なので、それを使いましょう。

 

「\( v^2 – {v_0}^2 = 2gy\)」を使うとき、自由落下なので「 \(v_o = 0\) 」

問題文から「\(y = 9.8\)」、「\(g = 9.8\)」 これを代入して、

$$v^2 – 0 = 2 × 9.8 × 9.8$$

$$  v^2 = 2 × {(9.8)}^2$$

両辺のルートを取って、

$$  v= \sqrt{2 × {(9.8)}^2}$$

$$ = \sqrt{2} × 9.8$$

$$ = 9.8\sqrt{2}$$

よって解は、\(9.8\sqrt{2}\) [m/s]

 

ルートを取る際に、本来は+-をつけなければなりませんが、正の方向が下で、物は下向きに落ちるので、+になるのは当たり前です。

よって、今回は複号をつけていません。

 




 

 

(3) 小球が地面に達するまでの時間を求めよ。

 

この問題のポイントは、「小球が地面に達する」とはどんな時か?ということです。

答えは、「小球の変位[y]が y = 39.2[m]となるとき」です。

 

理由は単純なのです。「小球が屋上から39.2m落ちれば地面につく」というだけの話です。

なので y = 39.2の時のtを求めれば良いわけです。yとtを使う公式は、2番目ですのでそれを使います。

 

「\( y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\)」を使うとき、自由落下なので 「\(v_o = 0\)」

問題文から「\(y = 39.2\)」、「\(g = 9.8\) 」これを代入して、

$$39.2 = 0 × t + \frac{1}{2}gt^2$$

ここで 39.2とは、39.2 = 4 × 9.8 のことであるため、39.2 = 4g よって、

$$  4g = 0 +\frac{1}{2} × gt^2$$

$$  8 = t^2$$

両辺のルートを取って、

$$ t = 2\sqrt{2} $$

よって解は\(2\sqrt{2} \) [m/s]

 

ここでのコツは、39.2を4gとすることです。

39.2 % 4.9 を計算してしまうと計算ミスが起きやすくなってしまいます

なので、あえて 重力加速度であるgに戻すことによって、計算を簡単にしています。

 

こんなことができるのは多くの問題で「計算を簡単にするために、いろいろな数が9.8の倍数になっている」からです。

出題者の配慮を利用してやりましょう(笑)

 




 

 

(4) (3)の時の小球の速度を求めよ

 

(3)のおかげで、「\( t = 2\sqrt{2} \)」であることはわかっています。時間から速度がわかる公式は、1番目ですので、それを使います。

 

「\( v = v_0 + gt\)」を使うとき、自由落下なので 「\(v_o = 0\)」

問題文から「\(t = 2\sqrt{2}\)」、「\(g = 9.8\) 」これを代入して、

$$v = 0 + 9.8 × 2\sqrt{2}$$

$$  v = 19.6\sqrt{2}$$

$$ t = 2\sqrt{2} $$

よって解は\(2\sqrt{2} \) [s]

 

 

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